Barisan dan deret aritmatika dan geometri kelas 9

Perbedaan Barisan dan Deret (Aritmatika dan Geometri)

Barisan adalah himpunan yang anggotanya merupakan hasil pemetaan dari bilangan asli.

Contoh barisan :

1. 1, 2, 3, 4, 5
2. 2, 5, 8, 11, 14

Deret adalah penjumlahan dari anggota-anggota suatu barisan.

Contoh deret :

1. 1 + 2 + 3 + 4
2. 2 + 5 + 8 + 11

Format Barisan

format barisan

Format Deret

format deret

Rumus Deret Aritmatika

Rumus Deret Aritmatika

Contoh Soal :

Soal 1 dan Pembahasan

Diketahui barisan aritmatika dengan U2 + U5 + U20 = 54. Suku ke-9 barisan tersebut adalah…

1. 16
2. 17
3. 18 D. 19
4. 20

Pembahasan

Pada dasarnya, untuk mengerjakan soal seperti ini yang perlu kita lakukan adalah mencari nilai suku pertama (a) dan beda barisan (b). Akan tetapi, pada sebagian soal kita tidak dapat menentukan nilai a dan b sehingga yang harus kita lakukan adalah melihat hubungan antara persamaan yang ditanya dengan persamaan yang diketahui. Dari soal diperoleh persamaan :

U2 + U5 + U20 = 54

⇒ (a + b) + (a + 4b) + (a + 19b) = 54

⇒ 3a + 24b = 54

⇒ a + 8b = 18

Rumus untuk menghitung suku ke-9 adalah sebagai berikut :

U9 =  a + 8b

⇒ U9 = a + 8b = 18 (opsi C)

Soal 2 dan Pembahasan

Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10 = 86 , maka suku ke-2 barisan aritmatika tersebut sama dengan …

1. 13
2. 16
3. 20 D. 24
4. 28

Pembahasan

Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :

U3 + U7 = 56

⇒ (a + 2b) + (a + 6b) = 56

⇒ 2a + 8b = 56

⇒ a + 4b = 28.

U6 + U10 = 86

⇒ (a + 5b) + (a + 9b) = 86

⇒ 2a + 14b = 86

⇒ a + 7b = 43.

Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :

a + 4b = 28 → a = 28 – 4b → substitusi ke persamaan (2).

⇒ a + 7b = 43

⇒ 28 – 4b + 7b = 43

⇒ 28 + 3b = 43

⇒ 3b = 15

⇒ b = 5

Karena b = 5, maka a = 28 – 4(5) = 28 – 20 = 8.

Jadi, suku ke-2 barisan aritmatika tersebut adalah :

U2 = a + b

⇒ U2 = 8 + 5

⇒ U2 = 13 (Opsi A)

Soal 3 dan Pembahasan

Diketahui U2 + U4 = 12 dan U3 + U5 = 16, maka suku ke-7 barisan itu adalah …

1. 30
2. 28
3. 22 D. 18
4. 14

Pembahasan

Dari soal diperoleh dua persamaan sebagai berikut :

(1) U2 + U4 = 12

⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12

⇒2 a + 4b = 12

⇒ a + 2b = 6.

(2) U3 + U5 = 16

⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16

⇒ 2a + 6b = 16

⇒ a + 3b = 8.

Dari dua persamaan di atas, nilai a dan b dapat dihitung dengan menggunakan metode substitusi sebagai berikut :

a + 2b = 6 → a = 6 – 2b → substitusi ke persamaan (2).

a + 3b = 8

⇒ 6 – 2b + 3b = 8

⇒ 6 + b = 8

⇒ b = 2

Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.

Jadi, suku pertama barisan itu adalah 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut adalah :

U7 = a + 6b

⇒ U7 = 2 + 6(2)

⇒ U7 = 14 (Opsi E)

Soal 4 dan Pembahasan

Diketahui barisan aritmatika dengan U1 + U10 + U19 = 96. Suku ke-10 barisan tersebut sama dengan …

1. 22
2. 27
3. 32 D. 37
4. 42

Pembahasan

Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :

U1 + U10 + U19 = 96

⇒ a + a + 9b + a + 18b = 96

⇒ 3a + 27b = 96

⇒ a + 9b = 32

Suku ke-10 barisan aritmatika tersebut adalah :

U10 = a + 9b

⇒ U10 = a + 9b = 32 (Opsi C)

Jika U2 + U15 + U40 = 165, maka suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah …

1. 10
2. 19
3. 28,5 D. 55
4. 82,5

Pembahasan

Dari soal diperoleh persamaan sebagai berikut :

U2 + U15 + U40 = 165

⇒ a + b + a + 14b + a + 39 b = 165

⇒ 3a + 54b = 165

⇒ a + 18b = 55

Suku ke-19 barisan aritmatika tersebut adalah :

U19 = a + 18b

⇒ U19 = 55 (opsi D).

Deret Geometri

Jumlah dari n suku pertama suatu barisan geometri disebut sebagai deret geometri. Jika suku ke-n dari barisan geometri dirumuskan: a_n = a₁r^{n – 1}, maka deret geometri dapat dituliskan sebagai,

rumus deret geometri

Soal No. 1 dan Pembahasan
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan suku ke-5 dari deret tersebut!
Pembahasan
Rumus suku ke-n deret geometri
U_n = ar^{n −1}

dimana
a = suku pertama
r = rasio

Dari soal
a = 3
r = ⁶/₃ = 2

sehingga
U_n = arⁿ⁻¹
U₅ = 3 (2)^{5 −1} = 3 (2)⁴ = 3(16) = 48

Soal No. 2 dan Pembahasan
Diketahui suku pertama suatu deret geometri adalah 4 dengan suku ke-5 adalah 324. Tentukan rasio dari deret tersebut!

Pembahasan
Data dari soal di atas
U₅ = 324
a = 4

Dari U_n = ar^{n −1}

contoh soal 2 deret geometri

Soal No. 3 dan Pembahasan
Deret geometri 12 + 6 + 3 + ….
Tentukan U₃ + U₅

Pembahasan
U₃ = 3
a = 12
r = ⁶/₁₂ = ¹/₂

Un = ar^{n −1}
U₅ = 12(1/2)^{5 −1} = 12(1/2)⁴ = 12(1/16) = 12/16 = 3/4

Sehingga
U₃ + U₅ = 3 + ³/₄ = 3 ³/₄

Soal No. 4
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
3 + 6 + 12 + ….
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 3
r = ⁶/₃ = 2
S₇ =….

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih besar dari satu r > 1

soal dan pembahasan 4 deret geometri

Soal No. 5 dan Pembahasan
Diberikan sebuah deret geometri sebagai berikut.
24 + 12 + 6 +…
Tentukan jumlah 7 suku pertama dari deret tersebut!

Pembahasan
Data:
a = 24
r = ¹²/₂₄ = ¹/₂
S₇ =….

Rumus mencari jumlah n suku pertama deret geometri untuk rasio lebih kecil dari satu r < 1

soal dan pembahasan 5 deret geometrs